W
niniejszym podrozdziale omowiono wybrane rozkłady prawdopodobieństwa.
Obliczeń
można dokonać w załączonym dodatku Rozkłady
prawdopodobieństwa.
W
tym podrozdziale położono nacisk na odpowiedni wybor
rozkładu,
a także na umiejętność odczytu żądanych wartości z tablic statystycznych.
Oto klasyfikacja omowionych w dalszej części rozkładow
prawdopodobieństwa:
Rozkład dwumianowy
Rozkład dwumianowy (Bernoulliego) zmiennej losowej X znajduje
zastosowanie
wowczas, gdy (por. [21, s. 195]):
1. Przeprowadza się n jednakowych doświadczeń.
2. Dla każdego doświadczenia możliwe są dwa
wyniki: sukces lub porażka.
3. Prawdopodobieństwo sukcesu p w kolejnych doświadczeniach
nie zmienia
się (doświadczenia niezależne).
4. Liczba doświadczeń n jest niewielka (zał. n <
30).
Funkcja prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego jest następująca:
Dwumian Newtona oblicza się według wzoru:
Oto podstawowe charakterystyki rozkładu:
a) wartość oczekiwana:
b) odchylenie standardowe:
Dystrybuantą zmiennej losowej X o rozkładzie dwumianowym jest
funkcja
postaci (por. [9, s.
95]):
Copyright by Wydawnictwo Złote Myśli & Paweł Tatarzycki
!( ) !
!
k n k
n
k
n
-
= ÷
÷ø
ö
ç çè
æ
m = np
s = np(1- p)
F(k ) = P( X £ k )
Analogicznie można określić dystrybuantę dla pozostałych rozkładow
skokowych.
Przykład. Student na „chybił-trafił” rozwiązuje test
wielokrotnego wyboru
ze statystyki, gdzie tylko jedna spośrod czterech opcji odpowiedzi
jest prawidłowa.
Test liczy 10 pytań. Proszę obliczyć prawdopodobieństwo tego,
że ponad 40 proc. odpowiedzi będzie prawidłowych. Wypisujemy dane:
a) liczba sukcesow polegających na właściwym zaznaczeniu
odpowiedzi:
P(X > 4),
b) liczba niezależnych prob (pytań w teście): n = 10,
c) prawdopodobieństwo sukcesu: p = 0,25.
Możemy skorzystać ze wzoru na prawdopodobieństwo dopełnienia
zdarzeń:
Następnie obliczamy prawdopodobieństwa cząstkowe ze wzoru na
funkcję
prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego. Oto sposob obliczeń dla
k = 0:
Wracamy do wzoru:
Copyright by Wydawnictwo Złote Myśli & Paweł Tatarzycki
P( X > 4) =1- P( X £ 4) =1- [P( X = 0) + P( X =1) + P( X = 2) + P( X = 3) + P( X = 4)]
( ) (0,25)0 (1 0,25)10 0
0
10
0 - - × × ÷ ÷ø
ö
ç çè
æ
P X = =
( ) 1
1 10!
10!
0! 10 0 !
10!
0
10
=
×
=
-
= ÷
÷ø ö
ç çè
æ
P( X = 0) =1×1× (1- 0,25)10 = (0,75)10 = 0,0563
Analogicznie
obliczamy prawdopodobieństwa dla k = 1, k = 2, k = 3 i k = 4.
Suma
prawdopodobieństw cząstkowych to:
Powyższe
prawdopodobieństwo jest wartością dystrybuanty rozkładu dwumianowego
w
punkcie 4. Oto wykres dystrybuanty tego rozkładu:
Rysunek 3.4. Dystrybuanta rozkładu dwumianowego.
Źródło: Opracowanie własne.
Prawdopodobieństwo
tego, że student poprawnie wskaże ponad 40 proc.
odpowiedzi,
wynosi (przy założeniu, że za dane pytanie jest zero punktow
lub
jeden punkt):
Jedynie
ośmiu studentow na stu uzyska ponad 40 proc. poprawnych odpowiedzi
zakreślając odpowiedzi na „chybił-trafił”.
Szczegolnym
przypadkiem rozkładu dwumianowego jest rozkład
dwupunktowy
(zerojedynkowy).
W tej sytuacji ma miejsce:
a)
prawdopodobieństwo sukcesu:
b)
prawdopodobieństwo porażki:
Charakterystyki
tego rozkładu są następujące:
a)
wartość oczekiwana:
b)
odchylenie standardowe:
Nawiązując
do powyższego przykładu: możemy stwierdzić, że prawdopodobieństwo
sukcesu,
jakim jest losowy wybor prawidłowej opcji odpowiedzi
wynosi
0,25. Jednocześnie prawdopodobieństwo porażki, tj. zaznaczenia
nieprawidłowej
odpowiedzi, wynosi 0,75.
O
ile rozkład dwumianowy określa liczbę k
sukcesow wśrod n powtorzeń
doświadczenia
(np. n rzutow monetą), o tyle geometryczny
wyznacza
prawdopodobieństwo pojawienia się pierwszego sukcesu:
Charakterystyki:
a)
wartość oczekiwana:
b)
odchylenie standardowe:
Przykład. Średnio
rzecz biorąc, co piąty internauta odwiedzający pewien
sklep
internetowy robi w nim zakupy. Należy obliczyć prawdopodobieństwo
tego,
że pierwsza transakcja pojawi się przy trzecim wejściu na stronę.
Ile
powinno być wejść na stronę, aby została dokonana transakcja kupna-
sprzedaży?:
Wypisujemy
dane:
p
= 0,2 (co piąty internauta)
k
= 3
Podstawiamy
do wzoru na funkcję prawdopodobieństwa rozkładu geometrycznego:
Prawdopodobieństwo
tego, że pierwsza transakcja zostanie zawarta po trzecim
wejściu na stronę, wynosi 12,8 proc.
Aby
odpowiedzieć na pytanie, ile powinno być średnio wejść na stronę, by
została
dokonana transakcja kupna-sprzedaży, obliczamy wartość oczekiwaną:
Należy
oczekiwać, iż średnio przy pięciu wejściach na stronę zostanie zakupiony
jakiś
produkt ze sklepu internetowego. Oczywiście pierwszy internauta
może
od razu nabyć pewien produkt, ale też może zdarzyć się sytuacja,
w
ktorej nawet pięć wejść nie gwarantuje zbytu produktow. Warto
więc
obliczyć jeszcze odchylenie standardowe:
Gorną
granicę typowego obszaru zmienności uzyskamy, dodając do wartości
oczekiwanej
obliczone powyżej odchylenie standardowe. Zatem o nietypowej
sytuacji
możemy mowić w przypadku, gdy na stronę wejdzie więcej
niż dziewięciu internautow i nie zostanie zawarta transakcja
kupna sprzedaży.